最近看到2026年的全国Ⅰ卷高考数学压轴题，就做了一下。几乎全程用反证法做推导的题目实在是太罕见了，特此做一下记录。

题目

已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足：当 $x < 0$ 时， $f(x) = 2^x$。 结合 $D(x_0) =\{ d \in \mathbb{R} \vert f(x_0 + d) > f(x_0) \}$。

（1） 若当 $x \geq 0$， $f(x)=1-x$，求 $D(-1)$；

（2） 若 $f(x)$ 为奇函数， $x_1 x_2 \neq 0$， $f(x_1) < f(x_2)$，证明： $D(x_1) \supseteq D(x_2)$；

（3） 若 $f(x)$ 满足： ①当 $f(x_1) < f(x_2)$ 时， $D(x_1) \supseteq D(x_2)$； ②当 $0 < x < 1$ 时， $f(x) < f(0)$。证明：

• (i) $f(0) \geq 1$；
• (ii) $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上单调递增。

求解

小题 (1)

因为 $f(-1) = 1/2$，所以这里先计算 $f(x) > 1/2$ 在两边的解。

• 当 $x < 0$ 时，解得： $x \in (-1, 0)$。
• 当 $x \geq 0$ 时，解得： $x \in [0, 1/2)$。

$f(x) > 1/2$ 的解便是 $x \in (-1, 1/2)$。

根据集合 $D(x_0)$ 的定义，我们就有：

$$\begin{aligned} D(-1) &= \{ d \in \mathbb{R} \vert f(-1 + d) > f(-1) \} \\ &= \{ d \in \mathbb{R} \vert -1 < -1 + d < 1/2 \} \\ &= \{ d \in \mathbb{R} \vert d \in (0, 3/2) \} \\ \end{aligned}$$

小题 (2)

根据题意，此时的 $f(x)$ 写作：

$$f(x) = \begin{cases} 2^x & x < 0\\ 0 & x=0 \\ -2^{-x} & x>0 \end{cases}$$

这里得强调一下 $f(x)$ 在 $x<0$ 和 $x>0$ 时都是增函数（等会要用！）。

由 $x_1 x_2 \neq 0$ ，我们知道这俩数肯定不是 0 。那么接下来的讨论就只有两个数同号或异号的情况。

【情况1】 $x_1$ 和 $x_2$ 都小于 0 。

由于 $f(x_1) < f(x_2)$， 自然也就有 $x_1 < x_2 < 0$ 。根据定义，我们可以写出

$$\begin{cases} D(x_1) &= \{ d \in \mathbb{R} \vert d \in (0, -x_1) \} \\ D(x_2) &= \{ d \in \mathbb{R} \vert d \in (0, -x_2) \} \\ \end{cases}$$

明显有 $D(x_1) \supseteq D(x_2)$ 。

【情况2】 $x_1$ 和 $x_2$ 都大于 0 。

根据情况1的推理，同理有 $x_2 > x_1 > 0$，并且此时 $f(x_1) < f(x_2) < 0$ 。

打个比方，对于 $D(x_1)$：

• $(x_1 + d) \in (x_1, +\infty)$ 是 $D(x_1)$ 的一部分；
• 同时， $(x_1 + d) \in (-\infty, 0]$ 是 $D(x_1)$ 的另一部分。

因此 $D(x_1) = \{ d \in \mathbb{R} \vert d \in (-\infty, -x_1] \cup (0, +\infty) \}$。

同理 $D(x_2) = \{ d \in \mathbb{R} \vert d \in (-\infty, -x_2] \cup (0, +\infty) \}$。

所以 $D(x_1) \supseteq D(x_2)$ 也是成立的。

【情况3】 $x_1 > 0$ 和 $x_2 < 0$ 。

由于 $f(x_1) < f(x_2)$， 所以 $|x_1| > |x_2|$。

根据前面两部分的推理，有

$$\begin{cases} D(x_1) &= \{ d \in \mathbb{R} \vert d \in (-\infty, -x_1] \cup (0, +\infty) \} \\ D(x_2) &= \{ d \in \mathbb{R} \vert d \in (0, -x_2) \} \\ \end{cases}$$

所以 $D(x_1) \supseteq D(x_2)$ 也是成立的。

证明完毕。

小题 (3)

到这里就很有意思了。
两个小问要直接证明的话，相当不好走通。只能上反证法了。
这也是我对它感兴趣的原因。

小题 (3)(i)

首先，我们假设 $f(0) < 1$ 成立。

由于 $f(x)$ 在 $x>0$ 的形式不知道，这里我们就关注 $x<0$ 区间。该区间必然存在一个点 $x_0 < 0$ ，使得 $f(x_0) \geq f(0)$ 成立。

根据题目给的条件①，当 $f(0) < f(x_0)$ ，则 $D(0) \supseteq D(x_0)$ 。对于任意 $d \in D(x_0)$，同样应有 $d \in D(0)$

所以，这里我们取 $\epsilon \in (0, \min\{1, |x_0|\})$，此时 $\epsilon$ 同时满足 $(x_0 + \epsilon) < 0$ 和 $\epsilon < 1$。

因为 $f(x_0 + \epsilon) > f(x_0)$，所以 $\epsilon \in D(x_0)$。但是，根据题目给的条件②， $f(\epsilon) < f(0)$，所以 $\epsilon \notin D(0)$。

此时出现了与 $D(0) \supseteq D(x_0)$ 相矛盾的结论。因此，假设不成立。

所以，也就只剩下 $f(0) \geq 1$ 的情况。

小题 (3)(ii)

这里是最离谱的。
我一开始习惯性在 $x\in(0,1), y>0$ 的地方画了两条线，一条单调增，一条单调减。结果两条线都推出了相互矛盾的东西。结果往 $y<0$ 的地方画就没什么问题。
合着居然还要先推断 $f(x)$ 在 $x>0$ 时究竟是正还是负，甚至还是继续用反证法。
做到这里的同学有苦头了。

接下来，当 $x_0 > 0$ 时，由定义便有 $D(x_0) =\{ d \in \mathbb{R} \vert f(x_0 + d) > f(x_0) \}$ 。

【Part A】

假设存在点 $x_0 > 0$ 能够满足 $f(x_0) > 0$，如果这个都满足不了那就说明 $f(x) \leq 0$ 在 $x>0$ 的情况下恒成立。

由于当 $x<0$ 时， $f(x) \in (0, 1)$，所以必然存在 $t < 0$，使得 $f(t) < f(x_0)$。那么 $D(x_0) \subseteq D(t)$。

考虑 $D(t) =\{ d \in \mathbb{R} \vert f(t + d) > f(t) \}$ 。

• 当 $(t+d) \leq 0$时，解得 $d \in (0, -t]$。
• 而当 $(t+d) > 0$ 时，由于 $f(0) > 1$，解得 $(t+d) \in D(0)$。

记 $\mathbb{X}(t)=\{d \in \mathbb{R} \vert \exist \xi \in D(0), d = \xi - t \}$。所以， $D(t) = (0, -t] \cup \mathbb{X}(t)$ 。
【注：$\mathbb{X}(t)$ 其实就是把 $D(0)$ 向右平移了 $|t|$ 个单位，后面我还用了一次这个表示来简化描述】

这里需要强调：由于题(3)(i)里面证明了 $f(0) \geq 1$，所以 $D(0)$ 一定是 $(0, +\infty)$ 的子集。也就是只能在 $d>0$ 的区间内才有可能找到 $f(d) > f(0)$ 的情况。
因此 $\mathbb{X}(t) \subseteq (0, +\infty)$ ，得出 $D(x_0) \subseteq D(t) \subseteq (0, +\infty)$。

【Part B-1】

回过头看 $D(x_0) = \{ d \in \mathbb{R} \vert f(x_0+d) > f(x_0)\}$ 。

考虑一个特殊点 $d_1=-x_0 < 0$，此时 $f(x_0+d_1) = f(0)$。
如果 $x_0 \in (0, 1)$，则根据题(3)的条件②应该有 $f(x_0) < f(0) = f(x_0+d_1)$，也就是说 $d_1=-x_0 < 0$ 应该属于 $D(x_0)$。
但我们前面说了 $D(x_0) \subseteq (0, +\infty)$，产生了矛盾。
所以， $f(x_0)$ 在 $x_0 \in (0, 1)$ 不应该是正数。

【Part B-2】

接下来考虑 $x_0 \geq 1$ 的情况，只剩这个区间可以来假设 $f(x_0) > 0$ 的可能。
还是考虑 $d_1=-x_0 < 0$ 这个一定不属于 $D(x_0)$ 的特殊点。把 $d_1$ 代入，应该有 $f(x_0 + d_1) = f(0) \leq f(x_0)$ ，即 $f(x_0) \geq 1$ 。

任意从负数中选取 $\gamma_1 < 0$，则必然有 $f(\gamma_1) < f(x_0)$ 和 $D(x_0) \subseteq D(\gamma_1)$。
【注：其实是只能从这个已知信息多的地方入手了，并且还要仿照题(3)(i)的解法，把一个点从负数加到 $(0,1)$ 区间】

基于前面的内容，很容易写出 $D(\gamma_1) = (0, -\gamma_1] \cup \mathbb{X}(\gamma_1)$ 。
令 $d_2 = x_0 - \gamma_1$，显然 $d_2 > 0$，并且 $f(\gamma_1 + d_2) = f(x_2) \geq 1 > f(\gamma_1)$。 所以 $d_2$ 属于 $D(\gamma_1)$。

构造点 $\gamma_2 \in (-d_2, 1 - d_2)$，此时的 $\gamma_2$ 同时满足 $\gamma_2 < \gamma_1$ 和 $(\gamma_2 + d_2) \in (0, 1)$。
那么，根据题(3)的条件①应该有 $D(\gamma_1) \subseteq D(\gamma_2)$。 也就有 $d_2$ 也属于 $D(\gamma_2)$。
但是，根据题(3)的条件②， $f(\gamma_2 + d_2) < f(0)$，对应 $d_2$ 不属于 $D(\gamma_2)$，产生了矛盾。

所以 $f(x_0)$ 在 $x_0 \geq 1$ 时同样不是正数。

【Part C】

经过了 Part B 的逻辑推演， $f(x_0) \leq 0$ 在 $x_0 \in (0, +\infty)$ 的区间内恒成立。相信大伙做到这里完全力竭了吧。但是！接下来就不需要反证法啦！

还是用这个 $x_0 \in (0, +\infty)$ 。此时我们有 $f(x_0) < 0 < f(t)$，其中 $t$ 为任意负数。那么 $D(t) \subseteq D(x_0)$。

$D(t)$ 的形式我们在 Part A 部分写过了，即： $D(t) = (0, -t] \cup \mathbb{X}(t)$ 。
所以 $(0, -t] \subseteq D(x_0)$。
因此，在 $d \in (0, -t]$ 时， $f(x_0 + d) > f(x_0)$。

由于 $t$ 是任意负数，上面的 $f(x_0 + d) > f(x_0)$ 则可推导出 $f(x)$ 在区间 $x \in (x_0, +\infty)$ 上单调递增。

再结合 $x_0 \in (0, +\infty)$ 的任意性，可知 $f(x)$ 在区间 $x \in (0, +\infty)$ 上单调递增。

证明完毕。

最近自己也是在学相场格子Boltzmann方法，这篇笔记主要是在整理刚学到的内容。

控制方程

相场和表面张力

相场采用局部守恒性 Allen-Cahn 方程描述[1,2]，其核心量为序参数 $\phi$ 。控制方程为：

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot (\phi \boldsymbol{u}) = M_{\phi} (\nabla^2\phi - \nabla\cdot(\lambda\boldsymbol{n}))$$

其中

• $M_{\phi}$ 为迁移率 (mobility)。
• $\boldsymbol{n}=\nabla\phi/\|\nabla\phi\|$ 是界面法向量。
• $\lambda = 4(1-\phi)\phi/W$。 $W$ 为界面厚度，通常可以取 5 个格子单位。

表面张力通常采用如下形式：

$$\boldsymbol{F}_s = \mu_\phi \nabla \phi$$

化学势 $\mu_\phi$ 定义为：

$$\mu_\phi = 4\beta\phi(\phi-1)(\phi-0.5) - k \nabla^2\phi.$$

$k$ 和 $\beta$ 取决于界面厚度 $W$ 和表面张力 $\sigma$：

$$k = 3 \sigma W /2, \quad \beta = 12 \sigma / W$$

注： Open Access的文献[1]非常详尽地介绍了这一部分的推导，这里不做赘述。

流场

流场的控制方程组分为两个式子，这里我们简单讨论两种不可压流体的情况。

连续性方程为：

$$\nabla \cdot \boldsymbol{u} = 0,$$

Navier-Stokes方程为：

$$\begin{aligned} \frac{\partial (\rho\boldsymbol{u})}{\partial t} &+ \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{u} \boldsymbol{u}) = - \nabla p\\ & + \nabla \cdot [\mu (\nabla\boldsymbol{u} + (\nabla\boldsymbol{u})^\mathrm{T})] + \mathbb{F} \end{aligned}$$

其中

• $\rho, \boldsymbol{u}, p$ 分别为流场密度、速度和压强。
• $\mu, \nu$ 分别为流体的动力粘度和运动粘度。 $\mu = \rho\nu$ 。
• 外力 $\mathbb{F} = \boldsymbol{F}_s + \boldsymbol{G}$ 。 $\boldsymbol{F}_s$ 为表面张力， $\boldsymbol{G}$ 为其他体力 (如重力)。

描述两相流的双分布函数

相场

分布函数 $f_i$ 用于描述相场，其演化方程为：

$$\begin{aligned} f_i (\boldsymbol{x} &+ \boldsymbol{c}_i \delta_t, t + \delta_t) - f_i (\boldsymbol{x}, t) =\\ &-\frac{1}{\tau_f} \left[f_i (\boldsymbol{x}, t) - f_i^{eq} (\boldsymbol{x}, t)\right] + F_i (\boldsymbol{x}, t) \delta_t \end{aligned} \tag{1}$$

其中，相场中的平衡态 $f_i^{eq}$ 用的是1阶截断的形式：

$$f_i^{eq} = \omega_i \phi \left( 1 + \frac{\boldsymbol{c}_i \cdot \boldsymbol{u}}{c_s^2} \right).$$

式(1)里的作用力项 $F_i$ 为：

$$F_i = \left( 1 - \frac{1}{2 \tau_f} \right) \frac{w_i}{c_s^2} \boldsymbol{c}_i \cdot \left[ \frac{\partial (\phi \boldsymbol{u})}{\partial t} + c_s^2 \lambda \boldsymbol{n} \right].$$

松弛时间 $\tau_f$ 由迁移率 $M_{\phi}$ 计算：

$$M_{\phi} = (\tau_f - \frac{1}{2}) c_s^2 \delta_t$$

序参数 (order parameter) $\phi$ 是用于描述多相流的等效流体密度 $\rho$ 的参数。若记液相和气相密度分别为 $\rho_l$ 和 $\rho_g$，则：

$$\rho = \phi \rho_l + (1 - \phi) \rho_g .$$

而式(1)的模型中， $\phi$ 可表示为： $\displaystyle\phi=\sum_{i}f_{i}$ .

混合流体的运动粘度 $\nu$ 同样可以由 $\phi$ 进行分配，如上图所示。具体的计算方式包括：

（1）阶跃函数 $\displaystyle\nu(\phi)=\begin{cases}\nu_g,&\phi < 0.5\\ \nu_l,&\phi \ge 0.5\end{cases}$ 。 其中 $\nu_g$ 和 $\nu_l$ 分别为气相和液相的运动粘度。

（2）线性函数 $\displaystyle\nu(\phi)=\phi\nu_{l}+(1-\phi)\nu_{g}$。

（3）倒数的线性形式：$\displaystyle\frac{1}{\nu(\phi)}=\frac{\phi}{\nu_{l}}+\frac{1-\phi}{\nu_{g}}$。这种形式具有二阶可导的特点。

流场

分布函数 $g_i$ 用于描述流场，其演化方程为：

$$\begin{aligned} g_i (\boldsymbol{x} &+ \boldsymbol{c}_i \delta_t, t + \delta_t) - g_i (\boldsymbol{x}, t) =\\ &-\frac{1}{\tau_g} \left[g_i (\boldsymbol{x}, t) - g_i^{eq} (\boldsymbol{x}, t)\right] + G_i (\boldsymbol{x}, t) \cdot \delta_t \end{aligned} \tag{2}$$

局部平衡态 $g_i^{eq}$ 需要使用下面的版本，以保证速度场的无散性。

$$g_i^{eq} = \begin{cases} \frac{p}{c_s^2} (\omega_i - 1) + \rho s_{i}(\boldsymbol{u}), & i = 0\\ \frac{p}{c_s^2} \omega_i + \rho s_{i}(\boldsymbol{u}), & i \neq 0\\ \end{cases} \tag{3}$$

其中

$$s_{i}(\boldsymbol{u}) = \left[ \frac{\boldsymbol{c}_i \cdot \boldsymbol{u}}{c_s^2} + \frac{(\boldsymbol{c}_i \cdot \boldsymbol{u})^2}{2 c_s^4} - \frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u}}{2 c_s^2} \right] \cdot \omega_i$$

源项为

$$\begin{aligned} G_i (\boldsymbol{x}, t) &= \left(1 - \frac{1}{2 \tau_g}\right) \omega_i \left[ \boldsymbol{u} \cdot \nabla \rho + \frac{\boldsymbol{c}_i \cdot \mathbb{F}}{c_s^2} + \frac{\boldsymbol{u} \nabla \rho: (\boldsymbol{c}_i \boldsymbol{c}_i - c_s^2 \boldsymbol{I})}{c_s^2} \right]\\ &= \left(1 - \frac{1}{2 \tau_g}\right) \omega_i \left[ \frac{\boldsymbol{c}_i \cdot \mathbb{F}}{c_s^2} + \frac{(\rho_l - \rho_g) \boldsymbol{u} \nabla\phi: (\boldsymbol{c}_i \boldsymbol{c}_i)}{c_s^2} \right] \end{aligned} \tag{4}$$

式(4)用到了 $\nabla \rho = (\rho_l - \rho_g) \nabla\phi$ 进行化简。

所以，宏观量的计算为：

$$\begin{aligned} \rho \boldsymbol{u} &= \frac{\delta_t \mathbb{F}}{2} + \sum_{i} \boldsymbol{c}_i g_i ,\\ p &= \frac{c_s^2}{1 - \omega_0} \left[ \sum_{i \neq 0}{g_i} + \frac{\delta_t}{2} \boldsymbol{u} \cdot \nabla \rho + \rho s_{0}(\boldsymbol{u}) \right]\\ &= \frac{c_s^2}{1 - \omega_0} \left[ \sum_{i \neq 0}{g_i} + \frac{\delta_t}{2} (\rho_l - \rho_g)\boldsymbol{u} \cdot \nabla\phi + \rho s_{0}(\boldsymbol{u}) \right]. \end{aligned} \tag{5}$$

相场梯度

记 $\displaystyle\mathcal{A}=-c_s^2 \tau_f \delta_t$, $\displaystyle\mathcal{B} = M_{\phi} \lambda \delta_t$, 和 $\displaystyle\mathcal{C} = \frac{\delta_t}{2}\phi\boldsymbol{u} + \sum_{i}{\boldsymbol{c}_i (f_i - f_i^{eq})}$，
则：

$$\|\nabla\phi\| = \frac{-\|\mathcal{C}\|-\mathcal{B}}{\mathcal{A}} , \quad \nabla\phi = \frac{\mathcal{C}}{\mathcal{A} + \mathcal{B}/\|\nabla\phi\|}. \tag{6}$$

化学势 $\mu_\phi$ 中 $\nabla^2\phi$ 部分则用 $\nabla\phi$ 的差分进行计算。

当然，也有完全使用差分的计算公式

$$\begin{cases} \nabla\phi(\boldsymbol{x}) &= \sum_{i \neq 0} {\omega_i \boldsymbol{c}_i \phi(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{c}_i \delta_t)} / {c_s^2 \delta_t} ,\\ \nabla^2\phi(\boldsymbol{x}) &= \sum_{i \neq 0} {2\omega_i [\phi(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{c}_i \delta_t) - \phi(\boldsymbol{x})]} / {c_s^2 \delta_t^2} \end{cases}$$

绕过化学势的相场模型

值得一提的是，Tim Reis [3] 提出了一种不需要计算 $\nabla^2\phi$ 的相场LBM模型。该方法主要是修改了流场分布函数 $g_i$ 的平衡态和源项，所以这里只讲与流场相关的部分（相场部分可以看他的文章）。

定义表面张力为 $\boldsymbol{F}_s = \nabla\cdot\mathrm{T}$，其中毛细张量（capillary tensor） $\mathrm{T}$ 写作：

$$\mathrm{T}=\sigma (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{n}\boldsymbol{n}) \delta_{\mathrm{S}}$$

而 $\delta_{\mathrm{S}}\simeq\|\nabla\phi\|$ 是界面delta函数（surface delta function）。

Tim Reis 基于多尺度展开结果，把 $\mathrm{T}$ 的作用写进修正的平衡态分布函数里，

$$g_{i}^{eq}=\omega_i \left[ \frac{p}{c_s^2} + \rho \frac{\boldsymbol{c}_i \cdot \boldsymbol{u}}{c_s^2} + \frac{1}{2c_s^4}(\rho\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}+\mathrm{T}):(\boldsymbol{c}_i \boldsymbol{c}_i - c_s^2 \boldsymbol{I}) \right],$$

这使得化学势 $\mu_\phi$ 的计算被约去了，且外力项也仅剩一个重力 $\boldsymbol{G}$ 。在这种构造下，源项 $G_i$ 也要被分为两部分

$$G_i = \left(1 - \frac{1}{2 \tau_g}\right) [R_i(\boldsymbol{G}) + S_i]$$

其中 $R_i(\boldsymbol{G})$ 为外力项

$$R_i = \omega_i \left( \frac{\boldsymbol{c}_i - \boldsymbol{u}}{c_s^2} + \frac{\boldsymbol{c}_i \cdot \boldsymbol{u}}{c_s^4} \boldsymbol{c}_i \right) \cdot \boldsymbol{G},$$

而 $S_i$ 为修正项

$$\begin{cases} S_i = (\Gamma_i - \omega_i) (\boldsymbol{c}_i - \boldsymbol{u}) \cdot \nabla\rho \\ \Gamma_i =\left( 1 + \frac{\boldsymbol{c}_i - \boldsymbol{u}}{c_s^2} + \frac{\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}:(\boldsymbol{c}_i \boldsymbol{c}_i - c_s^2 \boldsymbol{I})}{2c_s^4} \right) \omega_i \end{cases}$$

宏观量的计算也要变成

$$\begin{cases} \sum_i g_i = \frac{p}{c_s^2} - \frac{\delta_t}{2} (\boldsymbol{u} \cdot \nabla)\rho \\ \sum_i g_i \boldsymbol{c}_i = \rho \boldsymbol{u} + \frac{\delta_t}{2} \boldsymbol{G} \end{cases}.$$

参考文献

[1] ※ WANG H, YUAN X, LIANG H, et al. A brief review of the phase-field-based lattice Boltzmann method for multiphase flows[J]. Capillarity, 2019, 2(3): 33-52. DOI:10.26804/capi.2019.03.01.

[2] ※ LIANG H, XU J, CHEN J, et al. Phase-field-based lattice Boltzmann modeling of large-density-ratio two-phase flows[J]. Physical Review E, 2018, 97(3): 033309. DOI:10.1103/PhysRevE.97.033309.

[3] ※ REIS T. A lattice Boltzmann formulation of the one-fluid model for multiphase flow[J]. Journal of Computational Physics, 2022, 453: 110962. DOI:10.1016/j.jcp.2022.110962.