最近看到2026年的全国Ⅰ卷高考数学压轴题，就做了一下。几乎全程用反证法做推导的题目实在是太罕见了，特此做一下记录。

题目

已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足：当 $x < 0$ 时， $f(x) = 2^x$。 结合 $D(x_0) =\{ d \in \mathbb{R} \vert f(x_0 + d) > f(x_0) \}$。

（1） 若当 $x \geq 0$， $f(x)=1-x$，求 $D(-1)$；

（2） 若 $f(x)$ 为奇函数， $x_1 x_2 \neq 0$， $f(x_1) < f(x_2)$，证明： $D(x_1) \supseteq D(x_2)$；

（3） 若 $f(x)$ 满足： ①当 $f(x_1) < f(x_2)$ 时， $D(x_1) \supseteq D(x_2)$； ②当 $0 < x < 1$ 时， $f(x) < f(0)$。证明：

• (i) $f(0) \geq 1$；
• (ii) $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上单调递增。

求解

小题 (1)

因为 $f(-1) = 1/2$，所以这里先计算 $f(x) > 1/2$ 在两边的解。

• 当 $x < 0$ 时，解得： $x \in (-1, 0)$。
• 当 $x \geq 0$ 时，解得： $x \in [0, 1/2)$。

$f(x) > 1/2$ 的解便是 $x \in (-1, 1/2)$。

根据集合 $D(x_0)$ 的定义，我们就有：

$$\begin{aligned} D(-1) &= \{ d \in \mathbb{R} \vert f(-1 + d) > f(-1) \} \\ &= \{ d \in \mathbb{R} \vert -1 < -1 + d < 1/2 \} \\ &= \{ d \in \mathbb{R} \vert d \in (0, 3/2) \} \\ \end{aligned}$$

小题 (2)

根据题意，此时的 $f(x)$ 写作：

$$f(x) = \begin{cases} 2^x & x < 0\\ 0 & x=0 \\ -2^{-x} & x>0 \end{cases}$$

这里得强调一下 $f(x)$ 在 $x<0$ 和 $x>0$ 时都是增函数（等会要用！）。

由 $x_1 x_2 \neq 0$ ，我们知道这俩数肯定不是 0 。那么接下来的讨论就只有两个数同号或异号的情况。

【情况1】 $x_1$ 和 $x_2$ 都小于 0 。

由于 $f(x_1) < f(x_2)$， 自然也就有 $x_1 < x_2 < 0$ 。根据定义，我们可以写出

$$\begin{cases} D(x_1) &= \{ d \in \mathbb{R} \vert d \in (0, -x_1) \} \\ D(x_2) &= \{ d \in \mathbb{R} \vert d \in (0, -x_2) \} \\ \end{cases}$$

明显有 $D(x_1) \supseteq D(x_2)$ 。

【情况2】 $x_1$ 和 $x_2$ 都大于 0 。

根据情况1的推理，同理有 $x_2 > x_1 > 0$，并且此时 $f(x_1) < f(x_2) < 0$ 。

打个比方，对于 $D(x_1)$：

• $(x_1 + d) \in (x_1, +\infty)$ 是 $D(x_1)$ 的一部分；
• 同时, (x_1 + d) \in (-\infty， 0] 是 $D(x_1)$ 的另一部分。

因此 $D(x_1) = \{ d \in \mathbb{R} \vert d \in (-\infty, -x_1] \cup (0, +\infty) \}$。

同理 $D(x_2) = \{ d \in \mathbb{R} \vert d \in (-\infty, -x_2] \cup (0, +\infty) \}$。

所以 $D(x_1) \supseteq D(x_2)$ 也是成立的。

【情况3】 $x_1 > 0$ 和 $x_2 < 0$ 。

由于 $f(x_1) < f(x_2)$， 所以 $|x_1| > |x_2|$。

根据前面两部分的推理，有

$$\begin{cases} D(x_1) &= \{ d \in \mathbb{R} \vert d \in (-\infty, -x_1] \cup (0, +\infty) \} \\ D(x_2) &= \{ d \in \mathbb{R} \vert d \in (0, -x_2) \} \\ \end{cases}$$

所以 $D(x_1) \supseteq D(x_2)$ 也是成立的。

证明完毕。

小题 (3)

到这里就很有意思了。
两个小问要直接证明的话，相当不好走通。只能上反证法了。
这也是我对它感兴趣的原因。

小题 (3)(i)

首先，我们假设 $f(0) < 1$ 成立。

由于 $f(x)$ 在 $x>0$ 的形式不知道，这里我们就关注 $x<0$ 区间。该区间必然存在一个点 $x_0 < 0$ ，使得 $f(x_0) \geq f(0)$ 成立。

根据题目给的条件①，当 $f(0) < f(x_0)$ ，则 $D(0) \supseteq D(x_0)$ 。对于任意 $d \in D(x_0)$，同样应有 $d \in D(0)$

所以，这里我们取 $\epsilon \in (0, \min\{1, |x_0|\})$，此时 $\epsilon$ 同时满足 $(x_0 + \epsilon) < 0$ 和 $\epsilon < 1$。

因为 $f(x_0 + \epsilon) > f(x_0)$，所以 $\epsilon \in D(x_0)$。但是，根据题目给的条件②， $f(\epsilon) < f(0)$，所以 $\epsilon \notin D(0)$。

此时出现了与 $D(0) \supseteq D(x_0)$ 相矛盾的结论。因此，假设不成立。

所以，也就只剩下 $f(0) \geq 1$ 的情况。

小题 (3)(ii)

这里是最离谱的。
我一开始习惯性在 $x\in(0,1), y>0$ 的地方画了两条线，一条单调增，一条单调减。结果两条线都推出了相互矛盾的东西。结果往 $y<0$ 的地方画就没什么问题。
合着居然还要先推断 $f(x)$ 在 $x>0$ 时究竟是正还是负，甚至还是继续用反证法。
做到这里的同学有苦头了。

接下来，当 $x_0 > 0$ 时，由定义便有 $D(x_0) =\{ d \in \mathbb{R} \vert f(x_0 + d) > f(x_0) \}$ 。

【Part A】

假设存在点 $x_0 > 0$ 能够满足 $f(x_0) > 0$，如果这个都满足不了那就说明 $f(x) \leq 0$ 在 $x>0$ 的情况下恒成立。

由于当 $x<0$ 时， $f(x) \in (0, 1)$，所以必然存在 $t < 0$，使得 $f(t) < f(x_0)$。那么 $D(x_0) \subseteq D(t)$。

考虑 $D(t) =\{ d \in \mathbb{R} \vert f(t + d) > f(t) \}$ 。

• 当 $(t+d) \leq 0$时，解得 $d \in (0, -t]$。
• 而当 $(t+d) > 0$ 时，由于 $f(0) > 1$，解得 $(t+d) \in D(0)$。

记 $\mathbb{X}(t)=\{d \in \mathbb{R} \vert \exist \xi \in D(0), d = \xi - t \}$。所以， $D(t) = (0, -t] \cup \mathbb{X}(t)$ 。
【注：$\mathbb{X}(t)$ 其实就是把 $D(0)$ 向右平移了 $|t|$ 个单位，后面我还用了一次这个表示来简化描述】

这里需要强调：由于题(3)(i)里面证明了 $f(0) \geq 1$，所以 $D(0)$ 一定是 $(0, +\infty)$ 的子集。也就是只能在 $d>0$ 的区间内才有可能找到 $f(d) > f(0)$ 的情况。
因此 $\mathbb{X}(t) \subseteq (0, +\infty)$ ，得出 $D(x_0) \subseteq D(t) \subseteq (0, +\infty)$。

【Part B-1】

回过头看 $D(x_0) = \{ d \in \mathbb{R} \vert f(x_0+d) > f(x_0)\}$ 。

考虑一个特殊点 $d_1=-x_0 < 0$，此时 $f(x_0+d_1) = f(0)$。
如果 $x_0 \in (0, 1)$，则根据题(3)的条件②应该有 $f(x_0) < f(0) = f(x_0+d_1)$，也就是说 $d_1=-x_0 < 0$ 应该属于 $D(x_0)$。
但我们前面说了 $D(x_0) \subseteq (0, +\infty)$，产生了矛盾。
所以， $f(x_0)$ 在 $x_0 \in (0, 1)$ 不应该是正数。

【Part B-2】

接下来考虑 $x_0 \geq 1$ 的情况，只剩这个区间可以来假设 $f(x_0) > 0$ 的可能。
还是考虑 $d_1=-x_0 < 0$ 这个一定不属于 $D(x_0)$ 的特殊点。把 $d_1$ 代入，应该有 $f(x_0 + d_1) = f(0) \leq f(x_0)$ ，即 $f(x_0) \geq 1$ 。

任意从负数中选取 $\gamma_1 < 0$，则必然有 $f(\gamma_1) < f(x_0)$ 和 $D(x_0) \subseteq D(\gamma_1)$。
【注：其实是只能从这个已知信息多的地方入手了，并且还要仿照题(3)(i)的解法，把一个点从负数加到 $(0,1)$ 区间】

基于前面的内容，很容易写出 $D(\gamma_1) = (0, -\gamma_1] \cup \mathbb{X}(\gamma_1)$ 。
令 $d_2 = x_0 - \gamma_1$，显然 $d_2 > 0$，并且 $f(\gamma_1 + d_2) = f(x_2) \geq 1 > f(\gamma_1)$。 所以 $d_2$ 属于 $D(\gamma_1)$。

构造点 $\gamma_2 \in (-d_2, 1 - d_2)$，此时的 $\gamma_2$ 同时满足 $\gamma_2 < \gamma_1$ 和 $(\gamma_2 + d_2) \in (0, 1)$。
那么，根据题(3)的条件①应该有 $D(\gamma_1) \subseteq D(\gamma_2)$。 也就有 $d_2$ 也属于 $D(\gamma_2)$。
但是，根据题(3)的条件②， $f(\gamma_2 + d_2) < f(0)$，对应 $d_2$ 不属于 $D(\gamma_2)$，产生了矛盾。

所以 $f(x_0)$ 在 $x_0 \geq 1$ 时同样不是正数。

【Part C】

经过了 Part B 的逻辑推演， $f(x_0) \leq 0$ 在 $x_0 \in (0, +\infty)$ 的区间内恒成立。相信大伙做到这里完全力竭了吧。但是！接下来就不需要反证法啦！

还是用这个 $x_0 \in (0, +\infty)$ 。此时我们有 $f(x_0) < 0 < f(t)$，其中 $t$ 为任意负数。那么 $D(t) \subseteq D(x_0)$。

$D(t)$ 的形式我们在 Part A 部分写过了，即： $D(t) = (0, -t] \cup \mathbb{X}(t)$ 。
所以 $(0, -t] \subseteq D(x_0)$。
因此，在 $d \in (0, -t]$ 时， $f(x_0 + d) > f(x_0)$。

由于 $t$ 是任意负数，上面的 $f(x_0 + d) > f(x_0)$ 则可推导出 $f(x)$ 在区间 $x \in (x_0, +\infty)$ 上单调递增。

再结合 $x_0 \in (0, +\infty)$ 的任意性，可知 $f(x)$ 在区间 $x \in (0, +\infty)$ 上单调递增。

证明完毕。

闲来无事刷到2026年全国Ⅰ卷的高考作文题目，有感而发就顺手写下这随笔。

“变局”这个词，指的是“变动的时代”。对学生们来说，应该小学时就学过了吧。这个词单谈起来可能有些宏大，我自己以前也不经意间把它用在随意的地方：打LOL翻盘说是变局；突然来台风了学校有假放叫变局；下象棋换个套路把别人赢了也叫变局 …… 直到自己逐步长大后，2026年的今天，27岁的自己回首望去，原来自己一直身处“百年未有之变局”中……

还是小学四年级的时候，那时爸妈也是逮着了2008年奥运会那年房价低的窗口，带着我和姐姐搬离了50年代爷爷奶奶建的破旧老家，搬进了市电视台旁边安了新家。乔迁后不久，正好是奥运火炬传到家门前，更巧的是当时我生日。拿着生日礼物，看着窗外的哥哥姐姐们拿着火炬在大街上跑，这是一种何等新奇而难忘的体验！说实在的，明明我爸妈一直都是打零工的自由职业者，却有机会全款搬进新家。那时我只是模模糊糊地感觉到“家里好起来了”，而全然不知这便是“变局”下的一角。

高三的时候，那时是2016年吧，自己在市里最好的公立高中读书和住宿，鲜少回家。某日在看当天的报纸时，发现头版便是老市区改造工程，也涵盖了那件破旧老家。回想当年搬新家时，爷爷奶奶腿脚不便就没一起搬过去，而是我父母每天开车过去照顾他们。那天，知道了消息的我简直喜出望外，直接就把那份报纸藏书包里了。从那时起，越来越多的新闻也表明国家逐渐把注意力投到了像我爷爷奶奶这类老市区的老人们了。

我上大学时，正好是2017年，“百年未有之大变局”这个说法开始传遍大江南北。不过刚上大一的我也只算初涉世事，对这些说法完全不懂，还以为：又不是李鸿章那会了，说这个是啥意思？十年后的现在，正在读博二的自己悄然回头，原来……

2016年南海危机，中美双方剑拔弩张。但最终并没复刻1996的台海往事，中方的有力反制让危机平稳落地。这是我当年全力备战高考时完全不了解的“变局”，能有机会在高考后才去了解，说来也是一种幸运。

高考填志愿的时候，这所大学响应建设“双一流”的号召建了航空航天学院。而我恰好作为该学院第一届本科生入学，然后踏上力学研究的道路。这是自己命运的“小变局”。

读大三的时候，美国禁止中国高校使用 MatLab，后来听说学校就换成去教学C、Python或者别的什么了，甚至我们学校机房里不少电脑都有Mworks这种我原来压根没听过的新兴国产科学计算软件。虽然很意外，但这也是“变局”。

特朗普、拜登轮番上台，美方的贸易战、科技战搞了快10年。世界多地局部冲突不断，而我却还能一边刷手机看着国内的科技进步，一边考虑今年的618购物活动能买什么特价。这更是中国视角下独有的“变局”……

哦，原来那些时候，天翻地覆的事情就已经发生了啊……

诚然，新冠疫情后的时代并不算好过。全球因经济下行而出现保守主义、右翼势力抬头，这种影响也或多或少的传导到了国内。

不过，回看自己的成长，党和国家其实一直把“为人民服务”落到了实处。至少，这二十余年来良好、稳定的大环境让我读完了义务教育，又让我家这种没什么收入的情况能够以便宜的价格撑着我在优秀的高中和大学进修。直到现在，作为博士生的我，可以每月从助研津贴里拿点钱用微信汇给爸妈用了。

一代人有一代人的奋斗。

曾经，开过的前30年轰轰烈烈，打下了新中国的坚实脊梁。

曾经，改革开放的春风把我从懵懂无知的孩子带大。

现在，时间就这么一直单向前进着。命运就是如此吧，不管未来如何，该我向前走了。